If $x^2-7xy+y^2$ is divided by x-2y, the result is-

বীজগণিতীয় রাশির ভাগ (Division of Algebraic Expressions)

একটি বীজগাণিতিক রাশিকে অন্য একটি রাশি দ্বারা ভাগ করাকে বীজগণিতীয় রাশির ভাগ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

রাশির ভাগ করার সময় সহগগুলো আলাদাভাবে ভাগ করতে হয় এবং একই চলকের ক্ষেত্রে ঘাত বিয়োগ করতে হয়।

ভাগের মৌলিক নিয়ম

• সহগগুলো ভাগ করতে হবে
• একই চলকের ঘাত বিয়োগ করতে হবে
• লব ও হরের সাধারণ গুণনীয়ক কর্তন করতে হবে

চলকের ঘাতের নিয়ম

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

উদাহরণ ১

একপদীর ভাগ:

$\frac{12x^3}{3x}=4x^2$

কারণ,

$12÷3=4,x^3÷x=x^2$

উদাহরণ ২

বহুপদীকে একপদী দ্বারা ভাগ:

$\frac{6x^2+9x}{3x}$

প্রতিটি পদকে ভাগ করলে পাই:

$2x+3$

উদাহরণ ৩

সাধারণ গুণনীয়ক কর্তন:

$\frac{8a^{2}b}{4a}=2ab$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• একই চলকের ঘাত ভাগে বিয়োগ হয়
• সহগগুলো আলাদাভাবে ভাগ করতে হয়
• লব ও হরের সাধারণ গুণনীয়ক কর্তন করা যায়
• প্রতিটি পদকে আলাদাভাবে ভাগ করতে হয়

মনে রাখার উপায়

“গুণে ঘাত যোগ, ভাগে ঘাত বিয়োগ” — এই নিয়ম মনে রাখলে বীজগাণিতিক রাশির ভাগ সহজে করা যায়।

বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দ্বারা ভাগ করার ক্ষেত্রে প্রথমে ভাজ্য ও ভাজক উভয়ের মধ্যে আছে এমন একটি বীজগণিতীয় প্রতীকের ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে রাশিদ্বয়কে সাজাতে হবে। যেমন $x^2+2x^2+110-48x$একটি বহুপদী। একে x এর মানের অধঃক্রম অনুসারে সাজালে আমরা পাই: $2x^2+ x^2-48x+110$ এরপর পাটিগণিতের ভাগ প্রক্রিয়ার মতো নিচের নিয়মে ধাপে ধাপে ভাগ করতে হবে।

• ভাজ্যের প্রথম পদটিকে ভাজকের প্রথম পদ দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগফল হয় তা নির্ণেয় ভাগফলের প্রথম পদ।
• ভাগফলের ঐ প্রথম পদ দ্বারা ভাজকের প্রত্যেক পদকে গুণ করে গুণফল সদৃশ পদ অনুযায়ী ভাজ্যের নিচে বসিয়ে ভাজ্য থেকে বিয়োগ করতে হয়।
• বিয়োগফল নতুন ভাজ্য হবে। বিয়োগফল এমনভাবে লিখতে হবে যেন তা আগের মতো বিবেচ্য প্রতীকের অধঃক্রম অনুসারে থাকে।
• নতুন ভাজ্যের প্রথম পদটিকে ভাজকের প্রথম পদ দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগফল হয় তা নির্ণেয় ভাগফলের দ্বিতীয় পদ।
• এভাবে ক্রমান্বয়ে ভাগ করতে হয়।

উদাহরণ ৩। $6x^2+x-2$কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ কর।

এখানে

$6x^2÷2x=3x$ এই 3.x দ্বারা ভাজক 2x+1 গুণ করে গুণফল ভাজ্যের সদৃশ পদের নিচে লিখে বিয়োগ করা হল: নতুন ভাজ্য 4x - 2 এর ক্ষেত্রে একই নিয়ম অনুসরণ করা হল

সমাধান:

এখানে ভাজ্য ও ভাজক উভয়েই x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজানো আছে।

নির্ণেয় ভাগফল 3x+2

উদাহরণ ৪। $2x^2-7xy+6y^2$ কে x - 2y দ্বারা ভাগ কর।

সমাধান: এখানে রাশি দুইটি x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজানো আছে।

নির্ণেয় ভাগফল 2x + 3y

উদাহরণ ৫। $16x^4+36x^2+81$ কে $4x^2-6x+9$ দ্বারা ভাগ কর।

সমাধান: এখানে রাশি দুটি x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজানো আছে।

নির্ণেয় ভাগফল $4x^2+6x+9$

মন্তব্য: ২য় ধাপে নতুন ভাজ্যকেও x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজিয়ে লেখা হয়েছে।

উদাহরণ ৬। $2x^4+110-48x$ কে $4x+11+x^2$ দ্বারা ভাগ কর।

সমাধান: ভাজ্য ও ভাজক উভয়কে x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,

ভাজ্য = $2x^4+110-48x=2x^4-48x+110$

ভাজক $=4x+11+x^2=x^2+4x+11$

নির্ণেয় ভাগফল $2x^2-8x+10$

উদাহরণ ৭। $x^4-1$কে $x^2+1$ দ্বারা ভাগ কর।

সমাধান: এখানে রাশি দুটি x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজানো আছে।

নির্ণেয় ভাগফল $x^2-1$